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Introduction à l'analyse (MAT-1120)

Université Laval - Hiver 2013

-  Le plan de cours officiel, tel qu'affiché sur le portail des cours de l'Université Laval..

-  La structure du cours (chapitres, durée prévue) est donnée à titre indicatif. Elle pourra être modifiée pour s'adapter aux nécessités de l'enseignement.

-  Si vous êtes curieux et avez envie de découvrir d'autre façons de voir les nombres, vous serez certainement passionnés par une nouvelle de Donald E. Knuth, Les nombres surréels (le titre original est Surreal numbers). L'édition en anglais se trouve à la bibliothèque. Une traduction française est disponible gratuitement en ligne.

-  Quelques polycopiés pour compléter le cours donné en classe.

  • Une liste de symboles mathématiques usuels, qui pourra servir de référence. Les étudiants doivent connaître les lettres grecques dans l'ordre alphabétique.

  • Un résumé des théorèmes sur les limites de fonctions, qui regroupent les théorèmes dont la démonstration est identique pour les suites et pour les fonctions.

  • Un petit guide pour montrer la continuité d'une fonction, avec la liste des fonctions dont on admet la continuité sans démonstration.

-  Les listes d'exercices sont tirées du manuel obligatoire (Cassidy-Lavertu), ou du recueil d'exercices. Je mettrai en ligne des corrigés des exercices les plus important du recueil (ceux que je vous demanderai de chercher), en général au moment où ils seront corrigés en classe.

-  Les devoirs à la maison :

  • Le devoir maison 1, rendu le mardi 5 février à 13h30, et son corrigé. Ce devoir a été noté selon le barème suivant : 10 points pour les questions 1 et 2 réunies, 10 points pour la question 3, 10 points pour la question 4. La note est donc sur 30 ; en la multipliant par 10/3, vous obtenez votre note en %. La moyenne est de 24,4/30.

  • Le devoir maison 2, rendu le jeudi 21 février à 10h30, et son corrigé. Ce devoir a été noté selon le barème suivant : 5 points pour les questions 1, 5 et 6, et 10 points pour les questions 2, 3 et 4. En raison d'une erreur d'énoncé, il était possible d'obtenir jusqu'à 5 points bonus à la question 6. Votre note est sur 45 ; il faut la diviser par 0,45 pour obtenir votre note en %. La moyenne est de 31,3/45.

  • Le devoir maison 3, rendu le mardi 2 avril à 13h30, et son corrigé. La moyenne est de 33,8/45.

  • Le devoir maison 4, rendu le jeudi 18 avril à 10h30, et son corrigé. Les notes ont été comptées sur 50. La moyenne est de 36,8/50.

  • La moyenne globale des devoirs maison (calculée à partir des trois meilleures notes de chaque étudiant) est de 76,9%.

-  Les tests :

  • Le test 1, posé le mardi 5 février à 13h30. La moyenne est de 21,1/40.

  • Le test 2, posé le jeudi 21 février. La moyenne est de 33,3/50.

  • Le test 3, posé le mardi 2 avril. Voici un résumé de la matière qui était à réviser pour ce test, établi par Roxanne. Merci à elle ! La moyenne est de 28,1/50.

  • Le test 4, posé le jeudi 18 avril. Il portait sur les limites et la continuité des fonctions à valeurs réelles, jusqu'au théorèmedes valeurs intermédiaires. La moyenne est de 36,6/50.

  • La moyenne globale des tests (calculée à partir des trois meilleures notes de chaque étudiant) est de 68%.

-  Les examens :

  • L'examen partiel du jeudi 7 mars, et son corrigé. La moyenne est de 64,4%.
    Pour se préparer, les étudiants pouvaient chercher l'examen type, fourni avec son corrigé.
    L'examen portait sur la matière vue en cours jusqu'au mardi 26 février inclus. Les étudiants devaient savoir énoncer précisément toutes les définitions, les axiomes et les théorèmes du cours. De plus, ils devaient savoir démontrer les théorèmes suivants : théorème de la récurrence, caractérisation du supremum, irrationnalité de la racine carrée de 2, caractérisation des fonctions bijectives, unicité de la limite finie, théorème des gendarmes (pour une limite finie).

  • L'examen final du jeudi 2 mai, et son corrigé. La moyenne est de 62%.
    Pour se préparer, les étudiants pouvaient chercher l'examen type, fourni avec son corrigé.
    La partie "test" portait sur la matière vue après le test 4, en particulier
    • théorème de la bijection continue,
    • théorème des bornes,
    • définition de la convergence/divergence d'une série, et de sa somme si elle existe,
    • définition d'une série grossièrement divergente,
    • convergence de la somme de deux séries convergentes,
    • critère spécial des séries alternées,
    • théorème de comparaison des séries à termes positifs,
    • convergence d'une série absolument convergente,
    • rayon de convergence d'une série entière,
    • critère de D'Alembert pour les séries à termes positifs et les séries entières.
    Pour la question de cours, il fallait savoir démontrer les quatre théorèmes suivants :
    • caractère borné d'une suite convergente,
    • convergence d'une somme de suites convergentes,
    • convergence d'une suite croissante et majorée,
    • théorème de composition des limites (dans le cas de limites finies en des points finis).
    Voici une liste de ces théorèmes, accompagnés de leurs démonstrations (seule la partie à connaître est reproduite). Merci à Vivianne qui m'a permis de la diffuser !
    Pour les exercices, il fallait savoir utiliser précisément toutes les définitions et les théorèmes des chapitres 3 et 4 (suites, fonctions).