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Séminaire de premier cycle

Ce séminaire d'algèbre et géométrie, à destination des étudiants au baccalauréat de mathématiques de l'Université Laval, s'est tenu à la session d'hiver 2012.
Il était organisé par Ratnadha Kolhatkar, Saïd El Morchid et Erwan Biland.

-  Jeudi 24 février, 15h30, PLT-2512
Laurent Pelletier
La réciprocité quadratique

On développera des outils pour résoudre l'équation x^2 congruent à a (mod p). Par la suite, ces outils de théorie des nombres seront utiles afin d'étudier le comportement des idéaux premiers dans une extension quadratique. L'exposé est accessible à tous les étudiants, venez en grand nombre!

-  Jeudi 17 février, 15h30, PLT-2512
Jean Auger
Introduction à la théorie d'Évariste Galois

Résumé : La théorie du mathématicien Galois développée au premier tiers du XIXe siècle a en quelque sorte renouvelé la façon de faire de l'algèbre et mathématiques ; elle a montré l'importance et l'intérêt d'étudier les structures des ensembles que l'on manipule. Développée dans le but précis de répondre au vieux problème de résolution des polynômes par radicaux, la démarche de Galois s'est avérée intéressante dans bien d'autres situations et a d'ailleurs mené au réel développement de l'incontournable théorie des groupes. Je parlerai un peu de théorie des corps et j'apporterai une explication au vieux problème Grec de la duplication du cube avant de présenter des concepts de base de la théorie de Galois (la théorie classique). L'exposé est voulu très compréhensible et est réellement destiné aux étudiants du baccalauréat que je ré-invite plus qu'officiellement ici.

-  Jeudi 10 février, 15h30, PLT-2512
Erwan Biland
Chercher des points rationnels

Présentation pour vidéoprojecteur.
Feuille Maple ou, si vous préférez, la version pdf.
Résumé : Sur le modèle de la fonction zeta de Riemann, on peut associer une fonction zeta à n'importe quelle courbe algébrique projective et lisse sur un corps fini. Cette fonction, comme son modèle, vérifie une équation fonctionnelle reliant zeta(s) et zeta(1-s). En fait, c'est même une fonction rationnelle. Pour l'étude d'une courbe, on dispose d'un outil très puissant, le théorème de Riemann-Roch, qui permet de démontrer facilement ces propriétés. Pour illustrer concrètement leur intérêt, je prendrai l'exemple d'une courbe définie sur le corps à 5 éléments, mais qui, de façon inattendue, ne possède aucun point sur ce corps... Ce sera l'occasion de voir comment on utilise la division euclidienne des polynômes pour calculer dans les corps finis. Cet exposé sera très élémentaire, et le niveau sera adapté à l'auditoire.

-  Jeudi 27 janvier, 15h30, PLT-2512
Mostafa Mache
Action d’un groupe

Résumé : L’intérêt d’un groupe apparaît surtout lorsqu’il agit sur un ensemble. Dans cet exposé, on va définir cette action et présenter des exemples. Enfin, on va déduire quelques conséquences et applications importantes.

-  Jeudi 20 janvier, 15h30, PLT-2512
Ratnadha Kolhatkar
Le spectre d'un anneau commutatif

Résumé : Le spectre d'un anneau commutatif unitaire A, noté Spec A, est l'ensemble des idéaux premiers de A. Cet ensemble, avec la topologie de Zariski et un faisceau structural, est appelé un schéma affine qui est un objet de base dans la géométrie algébrique. Nous allons discuter la topologie de Zariski, des exemples et ensuite étudier certaines propriétés de Spec A.

-  Jeudi 13 janvier, 15h30, PLT-2512
Erwan Biland
Le langage des catégories : une nouvelle façon de penser les objets mathématiques

Présentation pour vidéoprojecteur.
Résumé : Plus on se familiarise avec les mathématiques, plus on remarque que les objets mathématiques aiment vivre en bande plutôt que tout seuls. Ainsi l'étude des nombres 1, -3/4, e ou i mène-t-elle vite à l'étude des ensembles de nombres N, Q, R ou C. Peut-on faire de même avec des objets plus abstraits comme les groupes ou les espaces vectoriels ? C'est le langage des catégories qui permet cette deuxième montée en généralité. Nous parlerons notamment d'algèbre linéaire et de calcul matriciel pour montrer la puissance de ce langage, qui nous permettra de résumer en quelques phrases l'essence des des cours d'algèbre linéaire du bac.